三角形面积公式之海伦公式是一个常用的公式,本文将进行手动推动,帮助学生加深理解.
问题: 已知:在三角形ABC当中,角A,B,C 对应的边分别是a,b,c, 记P=1/2(a+b+c),S为三角形的面积
则: 证明 S=
三角形面积:海伦公式的证明
证明过程:
如上图: AD为三角形BC边上的高,设为h,根据三角形面积公式:S=1/2a.h
下面我们来求h, 在三角形ABD和三角形ADC中,根据勾股定理
c²=BD²+h²
b²=CD²+h²
BD+CD=a
根据上面三个等式, 我们可以求出 h
c²-b²=BD²-CD²=(BD+CD)(BD-CD) =a.(BD-CD)
所以: BD-CD= c²-b²/ a 在与 BD+CD=a 联立 得到 BD=1/2(c²-b²/a+a)=1/2 (c²-b²+a²)/a
又因为h²+BD²=c² 所以
h²=c²-BD²=c²-(1/(2a)².(c²-b²+a²))²=
令P=1/2(a+b+c) 则
a+c-b= 2P-2b
b+a-c= 2P-2c
b+c-a= 2P-2a
代入以上等式得到:
h²=2P.(2P-b)(2P-c)(2P-2a)/4a²=16.P.(P-a)(P-b)(P-c)/4a²
因为P-a>0 P-b>0,P-c>0
所以三角形面积S=1/2a.h 即
得正
二:总结归纳
1.海伦公式可以用于解析几何,一般几何,只要知道三边长就可以求三角形面积
2.在推理的过程中,主要涉及到几个平方差的转换,注意变形.
